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Matemáticas de Vidrieros

Ya en el año 4000 aC, sumerios utilizaban patrones de mosaico construido a partir de la arcilla en su arquitectura. Forros, también conocida como la teselacióndescribe cómo las formas se pueden organizar para llenar un plano sin dejar huecos. Una regla común es que todas las esquinas de la forma deben cumplir y que ningún rincón de un azulejo pueden mentir a lo largo del borde de otra. + Richard Greendescribe un algoritmo matemático que genera un patrón de mosaico con simetría de 11 veces, y se explica el método de sustitución para generar patrones de mosaico.
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Un nuevo suelo de baldosas de sustitución con simetría de rotación de 11 veces

Esta imagen proviene de un trabajo reciente de Gregory R. Maloney describe un método para construir mosaicos de sustitución planas con simetría de rotación-n veces. Es cierto que los embaldosados ​​de Penrose han cinco veces simetría rotacional, y embaldosados ​​Ammann-Beenker han óctuple simetría rotacional, peroéstos van a once.

El método para la construcción de los embaldosados ​​se describe en el documento de Maloney En embaldosados ​​de sustitución del plano de simetría rotacional con n-veces, que se puede encontrar en http://arxiv.org/abs/1409.1828 . La construcción, que requiere una computadora, utiliza un conjunto de azulejos en forma de rombo cuyos ángulos internos son múltiplos enteros de π / n radianes (180 / n grados). En el caso especial en el que n = 11, hay cinco de tales revestimientos, cuyos ángulos agudos son los cinco primeros múltiplos enteros de π / 11. Estos cinco tipos de baldosas están representados por cinco colores diferentes en la imagen.

Aunque un ejemplo de un suelo de baldosas con simetría de rotación de 11 veces ya era conocida, no había ejemplo conocido de un suelo de baldosas de sustitución con esta propiedad. En términos generales, un suelo de baldosas de sustitución es un mosaico producido a partir de un grupo inicial de las baldosas mediante la sustitución de manera iterativa grupos de azulejos para los azulejos individuales, y luego la ampliación de manera que los paneles individuales en el nuevo suelo de baldosas tienen el mismo tamaño que los azulejos originales. En los casos de interés, el clúster original de azulejos aparece como un subconfiguración de la nueva configuración, más grande. Esto significa que el proceso de sustitución, cuando está correctamente configurado, puede considerarse como una ampliación de los azulejos originales.

El lector astuto se habrá dado cuenta de que la configuración en el cuadro no presenta simetría perfecta de 11 veces, a pesar de que contiene parches que tienen perfecta simetría de 11 veces. Afortunadamente, el documento describe un teorema que muestra que si el suelo de baldosas tiene un parche con una perfecta simetría 11 veces, entonces todo el suelo de baldosas puede ser re-centrado de manera que tiene simetría de rotación de 11 veces perfecto. El método para hacer esto se describe en la parte inferior de la página 2 del documento.

A diferencia de un suelo de baldosas del plano por triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares, una teselación con simetría de rotación de 11 veces nunca puede tener simetría de traslación completa. La razón de esto está relacionado con el hecho de que la traza de cualquier matriz que representa rotación por un undécimo de un giro no es un entero. (La traza de una matriz cuadrada es la suma de las entradas de la diagonal.) Otra forma de ver esto es que 2cos (2π / n) no puede ser un número entero, si n = 11, aunque es un número entero si n es 3, 4 o 6, que corresponde a los casos antes mencionados de hexágonos, cuadrados y triángulos.

Enlaces de interés

Penrose alicatados: http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling

Ammann-Beenker alicatados: http://en.wikipedia.org/wiki/Ammann-Beenker_tiling

La definición precisa de un suelo de baldosas de sustitución se puede encontrar aquí: http://tilings.math.uni-bielefeld.de/glossary/substitution

"Estos van a once": http://en.wikipedia.org/wiki/Up_to_eleven

#mathematics #scienceeveryday #spnetwork arXiv: 1409.1828
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